Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}-2x+3}}{x+1}$．
（1）解关于x的不等式：f（x）＞1；
（2）若x∈（1，3），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）问题转化为（x²-3x+2）（x+1）＞0，解出即可；（2）设x+1=t∈（2，4），换元得到$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$=t+$\frac{6}{t}$-4，求出其范围即可．

解答 解：（1）∵$\frac{{{x^2}-2x+3}}{x+1}$＞1，
∴$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x+1}$＞0，即（x²-3x+2）（x+1）＞0，
解得：-1＜x＜1或x＞2；
（2）∵x∈（1，3），
∴设x+1=t∈（2，4），
则x=t-1，
$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x+1}$
=$\frac{{（t-1）}^{2}-2（t-1）+3}{t}$
=$\frac{{t}^{2}-4t+6}{t}$
=t+$\frac{6}{t}$-4∈[2$\sqrt{6}$-4，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了解不等式问题，考查换元思想，是一道中档题．