Question

已知函数f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若0＜m＜n，且x∈[m，n]时，f（x）的值域为[

1

n

，

1

m

]．试求m，n的值．

Answer 1

分析：（1）将函数f（x）=-2x²+bx+c进行配方，然后根据f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，列等式进行求解；
（2）由题意0＜m＜n，可得f（x）在[m，n]上单调减，得m，n是方程f(x)=-2(x-1)2+1=

1

x

的两个解，从而求出m和n．

解答：解：（1）∵f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，
又∵f（x）=-2x²+bx+c=-2（x-

b

4

）²+

b2

8

+c
∴

b

4

=1，

b2

8

+c=1，
∴b=4，c=-1，
∴f（x）=-2（x-1）²+1，（4分）
（2）∴f（x）≤1，
∴

1

m

≤1，即m≥1，
∴f（x）在[m，n]上单调减，（6分）
∴f(m)=-2(m-1)2+1=

1

m

且f(n)=-2(n-1)2+1=

1

n

．（8分）
∴m，n是方程f(x)=-2(x-1)2+1=

1

x

的两个解，方程即（x-1）（2x²-2x-1）=0，（10分）
解方程，得解为1，

1+ 3

2

，

1- 3

2

．
∴1≤m＜n，
∴m=1，n=

1+ 3

2

．（14分）

点评：此题是道综合题，考查了函数的最值问题及函数增减性，难度比较大．