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    对任意的x＞0，函数y=
    2x
    x2+3x+1
    的最大值是
    2
    5
    2
    5
    ．
    分析：根据题意，原函数的解析式可变形为y=
    2
    x+
    1
    x
    +3
    ，令t=x+
    1
    x
    +3，（x＞0），则y=
    2
    t
    ，对于t=x+
    1
    x
    +3，（x＞0），由基本不等式分析可得其最小值，进而由反比例函数的性质分析可得y=
    2
    t
    的最大值，即可得答案．
    解答：解：y=
    2x
    x2+3x+1
    =
    2
    x+
    1
    x
    +3
    ，
    令t=x+
    1
    x
    +3，（x＞0），则y=
    2
    t
    ，
    则t≥2
    		x•
    1
    x
    +3=5，即t有最小值5，
    对于y=
    2
    t
    ，
    由t≥5，可得y≤
    2
    5
    ，即y的最大值为
    2
    5
    ，
    故答案为
    2
    5
    ．
    点评：本题考查基本不等式的运用，在解题中，可以用配凑法使其满足基本不等式成立的条件．
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    {x|3＜x≤4}
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