Question

（2012•枣庄二模）已知函数f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直线x=

π

3

是f(x)图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值：
（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

2π

3

个单位长度得到，若g(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x） 的解析式为2sin（2ωx+

π

6

），根据直线x=

π

3

是f(x)图象的一条对称轴，故2sin（2ω•

π

3

+

π

6

）=2，故有 2ω•

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，再由0＜ω＜1，求出ω 的值．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），可得g（x）=2cos

1

2

x．由 g(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，可得 
cos（α+

π

6

）=

4

5

．再由sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]，利用两角和的正弦公式求得结果．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx(0＜ω＜1)，
∴f（x）=cos（2ωx）+

3

sin（2ωx）=2sin（2ωx+

π

6

）．
∵直线x=

π

3

是f(x)图象的一条对称轴，故2sin（2ω•

π

3

+

π

6

）=2，即 sin（2ω•

π

3

+

π

6

）=1，
故有 2ω•

π

3

+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，故ω=3k+

1

2

，k∈z．
再由0＜ω＜1，可得-

1

3

＜k＜

1

3

，∴ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），可得g（x）=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）+

π

6

]=2cos

1

2

x．
由 g(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，可得 2cos

1

2

(2α+

π

3

)=

6

5

，故 cos（α+

π

6

）=

4

5

．．
故sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=sin（α+

π

6

）cos

π

6

-cos（α+

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，两角和的正弦公式，属于中档题．