Question

（2012•兰州模拟）已知数列{a_n}中a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数N，都有bn•

n(3-4an)

an

=1成立．求证：

1

2

≤Sn＜1．

Answer 1

分析：（1）对数列递推式，两边取倒数，可得数列{

1

an

}是以2为首项，

1

3

为公差的等差数列，由此可得数列{a_n}的通项公式；
（2）先确定数列{b_n}的通项，再利用裂项法求和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵an+1=

3an

an+3

(n∈N*)
∴

1

an+1

=

1

3

+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=

1

3

∵a1=

1

2

∴数列{

1

an

}是以2为首项，

1

3

为公差的等差数列
∴

1

an

=2+

n-1

3

=

n+5

3

∴an=

3

n+5

（2）证明：∵bn•

n(3-4an)

an

=1
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

∴

1

2

≤Sn＜1．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．