分析:(I)要证明AM⊥平面B1MN,只需证明AM垂直平面B1MN内两条相交直线即可,利用平面A1B1C1⊥平面A1ACC1证明AM⊥B1N.
再利用勾股定理证明AM⊥MN,而B1N,MN为平面B1MN内两条相交直线,所以可证AM⊥平面B1MN.
(II)要求二面角M-AB1-A1的大小,只需求其平面角的大小,先利用三垂线法找二面角M-AB1-A1的平面角,再放入直角三角形中,解三角形即可.
解答:解:(I)∵ABC-A
1B
1C
1是直三棱柱,∴平面A
1B
1C
1⊥平面A
1ACC
1;
∵AB=BC,进而A
1B
1=B
1C
1,
N为A
1C
1的中点,
∴B
1N⊥平面A
1ACC
1,
∵AM?平面A
1ACC
1,
∴B
1N⊥AM,即AM⊥B
1N.
在侧面A
1ACC
1中,C
1M=CM=2,
C
1N=
,AC=2
,∴Rt△MC
1N∽Rt△ACM,
∴∠C
1MN+∠CMA=90°,
∴AM⊥MN.
∵B
1N∩MN=N,∴AM⊥平面B
1MN.
(II)取BB
1的中点为D,连接MD,则MD⊥平面A
1AB
1,作DE⊥AB
1,垂足为E,连接ME,则ME⊥AB
1,∠MED为二面角M-AB
1-A
1的补角.
在Rt△ABB1中,DE=•=,
∴
tan∠MED==,
∠MED=arctan
,…(11分)
故二面角M-AB
1-A
1的大小为π-arctan
.
点评:本题考查了线面垂直的判定,以及二面角的求法,属于立体几何中的常规题,应当掌握.