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(2010•唐山二模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=4,M、N分别为CC1、A1C2的中点.
(I)求证:AM⊥平面B1MN;
(II)求二面角M-AB1-A1的大小.
分析:(I)要证明AM⊥平面B1MN,只需证明AM垂直平面B1MN内两条相交直线即可,利用平面A1B1C1⊥平面A1ACC1证明AM⊥B1N.
再利用勾股定理证明AM⊥MN,而B1N,MN为平面B1MN内两条相交直线,所以可证AM⊥平面B1MN.
(II)要求二面角M-AB1-A1的大小,只需求其平面角的大小,先利用三垂线法找二面角M-AB1-A1的平面角,再放入直角三角形中,解三角形即可.
解答:解:(I)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴平面A1B1C1⊥平面A1ACC1
∵AB=BC,进而A1B1=B1C1
N为A1C1的中点,
∴B1N⊥平面A1ACC1
∵AM?平面A1ACC1
∴B1N⊥AM,即AM⊥B1N.
在侧面A1ACC1中,C1M=CM=2,
C1N=
2
,AC=2
2
,∴Rt△MC1N∽Rt△ACM,
∴∠C1MN+∠CMA=90°,
∴AM⊥MN.
∵B1N∩MN=N,∴AM⊥平面B1MN.  
(II)取BB1的中点为D,连接MD,则MD⊥平面A1AB1,作DE⊥AB1,垂足为E,连接ME,则ME⊥AB1,∠MED为二面角M-AB1-A1的补角.
在Rt△ABB1中,DE=
1
2
AB•BB1
AB1
=
2
5

tan∠MED=
MD
DE
=
5

∠MED=arctan
5
,…(11分)
故二面角M-AB1-A1的大小为π-arctan
5

点评:本题考查了线面垂直的判定,以及二面角的求法,属于立体几何中的常规题,应当掌握.
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