Question

已知函数f（x）=lnx-

x-1

x

（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

1×2×3×…×n

（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（I）先对函数求导，讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值．
（II）由（I）知函数f（x）的定义域（0，+∞），在（0，1）是减函数，[1，+∞）是增函数，从而有

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，分别把x=1，2，3…代入不等式相加可证
（III）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．

解答： （Ⅰ）解：由题意f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴函数在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，f_min（x）=f（1）=0，无最大值．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=lnx-

x-1

x

≥f（1）=0，
故

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，
取x=1，2，3，…，
则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥lnln

en

1×2×3×…×n

（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x₀，lnx₀-

x0-1

x0

），
切线方程：y+1=

x0-1

x 2 0

（x-1），将点T坐标代入得：lnx₀-

x0-1

x0

=

x0-1

x 2 0

，即lnx₀+

3

x0

2

x 2 0

--1=0，①
设g（x）=lnx+

3

x

-

2

x2

-1，则g′（x）=

(x-1)(x-2)

x3

．
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g（

1

4

）=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（

1

4

，1）内有且仅有一根，
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．

点评：本题考查了导数的应用：利用导数研究函数单调区间及求最值问题，而对不等式的证明问题，主要是结合函数的单调性，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．