Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）取AC的中点D，连结SD、DB， ∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SD且AC⊥BD， ∴AC⊥平面SDB， 又SB平面SDB， ∴AC⊥SB； （Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC， ∴平面SDB⊥平面ABC， 过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC， 过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM， ∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角， ∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC， ∴SD⊥平面ABC， 又∵NE⊥平面ABC， ∴NE∥SD， ∵SN=NB， ∴NE=，且ED=EB， 在正△ABC中，由平面知识可求得， 在Rt△NEF中，tan∠NFE=， ∴二面角N-CM-B的大小是arctan2。  （Ⅲ）在Rt△NEF中，NF=， ∴S△CMN=，S△CMB=， 设点B到平面CMN的距离为h， ∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB， ∴S△CMN·h=S△CMB·NE， ∴h=， 即点B到平面CMN的距离为。