Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2

3

．

（Ⅰ）求证SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=

2S

l

（其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OBC．
②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB，
得S=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

1

2

lr，则r=

2S

l

．
类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．

Answer 1

分析：（I）过S作SO⊥AB，垂足为O，由已知中侧面SAB⊥底面ABC，结合面面垂直的性质可得OS⊥底面ABC．以O为坐标原点，OA为x轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线SA与SC的方向向量，代入向量的数量积公式，即可得到SA⊥SC；
（Ⅱ）根据平面内与面积相关的性质可类比为空间内与体积有关的性质，我们可以类比平面中r=

2S

l

，得到r=

3V

S

，连接球心与四个顶点，将大三棱锥分解为四个小三棱锥，然后根据四个小棱锥的体积和等于大棱锥的体积，即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）过S作SO⊥AB，垂足为O，
∵侧面SAB⊥底面ABC，∴OS⊥底面ABC．
∵SA=SB，∴O为AB中点．
以O为坐标原点，OA为x轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．
∵∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2

3

，
∴AB=2

2

，BC=2，OS=

2

，
∴A(

2

，0，0)，C(-

2

，2，0)，S(0，0，

2

)．
∴

SA

=(

2

，0，-

2

)，

SC

=(-

2

，2，-

2

)．
则

SA

•

SC

=-2+0+2=0．
∴SA⊥SC．
（Ⅱ）三棱锥内切球的半径公式为r=

3V

S

（其中V为三棱锥的体积，S为三棱锥的表面积）．
在Rt△SAB中，SA=SB=2，∴S_△SAB=2．
在Rt△ABC中，AB=2

2

，AC=2

3

，∴BC=2．∴S△ABC=2

2

．
在Rt△SAC中，SA=2，AC=2

3

，∴SC=2

2

．∴S△SAC=2

2

．B(-

2

，0，0)，

BC

=(0，2，0)，

SB

=(-

2

，0，-

2

)，
∴

BC

•

SB

=0，则BC⊥SB．
在Rt△SBC中，SB=2，BC=2．∴S_△SBC=2．
又VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

4

3

．
∴r=

3V

S

=

2

-1．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，线线垂直的判定，类比推理，（1）的关键是建立空间坐标系，将线线垂直问题转化为向量垂直问题，（2）的关键是将大三棱锥分解为四个小三棱锥，根据四个小棱锥的体积和等于大棱锥的体积，得到结论．