Question

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2

2

，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）求点B到平面SAC的距离；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面SAC的法向量

n

=(-1，1，1)，而

SB

=(

2

，0，-

2

)，从而可求点B到平面SAC的距离d=|

n • SB

| n |

|；
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量

m

=（0，1，0），平面SAC的法向量

n

=（-1，1，1），从而可得二面角A-SC-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）因为SB=SC，O为BC中点，所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，
以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，得B（

2

，0，0），A（0，

2

，0），S（0，0，

2

），C（-

2

，0，0），
∴

SA

=(0，

2

，-

2

)，

SC

=(-

2

，0，-

2

)，
设平面SAC的法向量为

n

=(x，y，z)
∴

n • SA =0 n • SB =0

，∴

2 y- 2 z=0 - 2 x- 2 z=0

，可取

n

=(-1，1，1)
而

SB

=(

2

，0，-

2

)，故点B到平面SAC的距离d=|

n • SB

| n |

|=

2 2

3

=

2 6

3

（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量

m

=（0，1，0），平面SAC的法向量

n

=（-1，1，1）
∴二面角A-SC-B的余弦值等于

m • n

| m || n |

=

1

3

=

3

3

．

点评：本题考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．