Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若设二面角S-BC-A为45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）AH⊥SB?AH⊥平面SBC?SA⊥BC?BC⊥平面SAB?BC⊥AB．
（2）二面角S-BC-A为45°?∠SBA=45°?二面角A-SC-B为60°

解答：（1）证明：作AH⊥SB于H，
∵平面SAB⊥平面SBC，
∴AH⊥平面SBC．
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．
SA在平面SBC上的射影为SH，
∴BC⊥SB．又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．
∴BC⊥AB．
（2）解：∵SA⊥平面ABC，
∴平面SAB⊥平面ABC．又平面SAB⊥平面SBC，
∴∠SBA为二面角S-BC-A的平面角．
∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a．
作AE⊥SC于E，连接EH，则EH⊥SC，∠AEH为二面角A-SC-B的平面角，
AH=

2

2

a，AC=

2

a，SC=

3

a，AE=

6

3

a，
∴sin∠AEH=

3

2

，二面角A-SC-B为60°．

点评：本题借助于线面垂直与面面垂直来证线线垂直，是立体几何的常见题型