Question

（2012•河南模拟）已知函数f(x)=e-kx(x2+x-

1

k

)(k＜0)．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得函数f（x）的极大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，并分解 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），对f'（x）=0的两个根的大小进行比较，分类讨论：k=-2时，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0；当-2＜k＜0时，

2

k

＜-1；当k＜-2时，

2

k

＞-1，从而可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．按照（Ⅰ）的分类讨论方法，当k=-2时，f（x）无极大值；当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为f(

2

k

)=e-2(

4

k2

+

1

k

)，可得 k=-1；当k＜-2时，f（x）的极大值不可能等于3e^-2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.f′(x)=-ke-kx(x2+x-

1

k

)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]，
即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或x=

2

k

．
当k=-2时，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）．…（3分）
当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	(-∞， 2 k )	2 k	( 2 k ，-1)	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是(-∞，

2

k

)和（-1，+∞），单调递减区间是(

2

k

，-1)．…（5分）
当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 2 k )	2 k	( 2 k ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和(

2

k

，+∞)，单调递减区间是(-1，

2

k

)．…（7分）
（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．理由如下：
当k=-2时，f（x）无极大值．
当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为f(

2

k

)=e-2(

4

k2

+

1

k

)，…（8分）
令e-2(

4

k2

+

1

k

)=3e-2，即

4

k2

+

1

k

=3，解得 k=-1或k=

4

3

（舍）．…（9分）
当k＜-2时，f（x）的极大值为f(-1)=-

ek

k

．…（10分）
因为 e^k＜e^-2，0＜-

1

k

＜

1

2

，所以 -

ek

k

＜

1

2

e-2．
因为 

1

2

e-2＜3e-2，所以 f（x）的极大值不可能等于3e^-2．
综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．