Question

已知函数

（1）若求函数的单调区间；

（2）若且对任意,恒成立，求实数的取值范围;

（3）设函数 求证： ．

Answer 1

（1）当时，，∴f(x)在单调递增；

当时，，∴f(x)在单调递减

（2）0<k<e；；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1），令，解得x=1

当时，，∴f(x)在单调递增；

当时，，∴f(x)在单调递减

（2）∵为偶函数，∴>0恒成立等价于f(x)>0对恒成立

当时，，令，解得x=lnk

①当lnk>0，即k>1时，f(x)在(0,lnk)上单调递减，在上单调递增

∴，解得1<k<e，∴1<k<e

②当lnk≤0，即0<k≤1时，，∴f(x)在上单调递增，

∴，符合，∴0<k≤1

综上，0<k<e．

（3）

∴．

考点：本题利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数函数的最值，函数恒成立的问题，函数与数列的综合