Question

5．已知ab≠0，证明：“a-b=0”成立的充要条件是“a³-b³-2a²b+2ab²=0”．

Answer 1

分析 根据充分必要条件的定义结合因式分解的运算性质证明即可．

解答 证明：由a-b=0得：
a³-b³-2a²b+2ab²
=（a-b）（a²+ab+b²）-2ab（a-b）
=（a-b）（a²-ab+b²）
=（a-b）[（a-b）²+ab]
=0，
是充分条件，
由a³-b³-2a²b+2ab²
=（a-b）（a²+ab+b²）-2ab（a-b）
=（a-b）（a²-ab+b²）
=（a-b）[（a-b）²+ab]
∵ab≠0，
∴a-b=0，
是必要条件，
∴若ab≠0，“a-b=0”成立的充要条件是“a³-b³-2a²b+2ab²=0”．

点评 本题考查了充分必要条件，考查分解因式，是一道基础题．