Question

如图，△BCD中，AB=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=．
（I）求证：BO∥平面PAC；
（II）若点M为PC上，且PC⊥平面AMB，求二面角A-BM-O的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，交AB于点D，O为△ABC的外心，AB=BC=1，OA=OB，OC=0C，故△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=60°．
故△OAC和△OBC 都是等边三角形，故平行四边形ACBO为菱形，故OB与AC平行且相等．
再由AC?平面PAC，OB不在平面PAC内，可得BO∥平面PAC．
（II）∵PC⊥平面AMB，∴PC⊥DM，直角三角形POC中，PO=，OC=1，∴PC=．
由△POC∽△CMD，D为OC中点可得，CM=，建立如图所示的空间坐标系，则得O（0，-，0），A（，0，0），B（-，0，0），M（0，，）．
∴=（-，0，0），=（-，，），=（-，，0），=（0，，）．
设平面MAB的法向量为=（x，y，z），由 解得=（0，1，-）．
设平面OMB的法向量为=（x′，y′，z′），由 解得=（1，，-4）．
故cos＜，＞===，故sin＜，＞=，故二面角A-BM-O的正弦值为．
分析：（1）连接OC，交AB于点D，先证明△OAC≌△OBC，可得平行四边形ACBO为菱形，故OB与AC平行且相等，再由线面平行的判定定理可得BO∥平面PAC．
（II）建立如图所示的空间坐标系，求出有关点的坐标，分别求出两个平面的法向量和的坐标，利用两个向量的夹角公式求出cos＜，＞，从而求出sin＜，＞的值，即得所求
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，用向量的方法求二面角的大小，体现了数形结合的数学思想，属于难题．