Question

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=

3

，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD⊥BC
（2）求二面角B-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）根据所给的三棱锥中的各边关系，可以判断△BCD为等腰直角三角形，又因为∵△ABC为等边三角，所以若取BC中点O，连AO、DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，就可得到BC⊥平面AOD，BC⊥AD．
（2）欲求二面角B-AC-D的大小，先找到二面角的平面角，二面角的平面角满足，顶点在棱上，两条边分别在两个面内，且两条边分别垂直于棱，因为图中没有满足条件的角，所以可以添加辅助线，作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角．在把角放入三角形BMN中，通过解三角形求出该角．

解答：证明：（1）在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵AD是公共的斜边，且AD=

3

，BD=CD=1，∴AB=AC=

2

∵∵△ABC为等边三角形，∴BC=

2

，
∴△BCD为等腰直角三角形，
取BC的中点O，连AO、DO，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC
∵△BCD为等腰直角三角形，∴DO⊥BC．
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD．
解：（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角．
∵AB=AC=BC=

2

，M是AC的中点，且MN∥CD
则BM=

6

2

，MN=

1

2

CD=

1

2

，BN=

1

2

AD=

3

2

．
由余弦定理得cos∠BMN=

BM2+MN2-BN2

2BM•MN

=

6

3

，
∴∠BMN=arccos

6

3

．

点评：本题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，以及二面角的求法，考查了学生的空间想象力，识图能力和转化能力．