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如图,在三棱锥A-BOC中,AO⊥面BOC,二面角B-AO-C是直二面角,OB=OC,∠OAB=
π6
,斜边AB=4,动点D在斜边AB上.
(1)求证:平面COD⊥平面AOB;
(2)当D为AB的中点时,求:异面直线AO与CD所成角大小.
分析:(1)欲证平面COD⊥平面AOB,先证直线与平面垂直,由题意可得:CO⊥AO,BO⊥AO,CO⊥BO,所以CO⊥平面AOB,进一步易得平面COD⊥平面AOB
(2)求异面直线所成的角,需要将两条异面直线平移交于一点,由D为AB的中点,故平移时很容易应联想到中位线,作DE⊥OB,垂足为E,连接CE,则DE∥AO,所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
解答:解:(I)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,
又∵二面角B-AO-C是直二面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,
∴CO⊥平面AOB,
又CO?平面COD,
∴平面COD⊥平面AOB.(4分)
(II)作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在 Rt△COE中,CO=BO=
1
2
AB=2,OE=
1
2
BO=1,
∴CE=
CO 2+OE 2
=
5

又DE=
1
2
AO=
3

∴CD=
CE 2+DE 2
=2
2

∴在Rt△CDE中,cos∠CDE=
DE
CD
=
3
2
2
=
6
4

∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为
6
4
.(9分)
点评:本小题主要考查空间线面关系、异面直线所成的角的度量、线面角的度量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
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3
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2
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