Question

设p是△ABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径．
证明

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

．

Answer 1

分析：对待证不等式

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

的左边进行配凑后应用柯西不等式，结合三角形中边的几何性质ax+by+cz=2S=2•

abc

4R

=

abc

2R

进行放缩即得．

解答：证明：由柯西不等式得，

x

+

y

+

z

=

ax

1 a

+

by

1 b

+

cz

1 c

≤

ax+by+cz

•

1 a + 1 b + 1 c

记S为△ABC的面积，则ax+by+cz=2S=2•

abc

4R

=

abc

2R

（5分）

x

+

y

+

z

≤

abc 2R

ab+bc+ca abc

=

1

2R

ab+bc+ca

≤

1

2R

a2+b2+c2

故不等式成立．（10分）

点评：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．