Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
求：
（1）二面角A-BD-A₁的正切值；
（2）AA₁与平面A₁BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，AC∩BD=O，连接A₁O，则∠A₁OA为二面角A-BD-A₁的平面角；
（2）过A作AE⊥A₁O，垂足为E，则AE⊥平面A₁BD，从而∠AA₁O为AA₁与平面A₁BD所成的角．

解答：解：（1）连接AC，AC∩BD=O，连接A₁O，则∠A₁OA为二面角A-BD-A₁的平面角
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∴AO=

2

2

a
∴tan∠A₁OA=

a

2 2 a

=

2

；
（2）过A作AE⊥A₁O，垂足为E，
∵AE⊥BD，A₁O∩BD=O，∴AE⊥平面A₁BD
∴∠AA₁O为AA₁与平面A₁BD所成的角
∵A₁A=a，AO=

2

2

a
∴A₁O=

6

2

a
∴AA₁与平面A₁BD所成的角的余弦值为

a

6 2 a

=

6

3

．

点评：本题考查面面角与线面角，解题的关键是确定线面角与面面角，属于基础题．