Question

已知集合A={x|log₂（2x）•log₂x≤0}
（1）求集合A；
（2）求函数y=4^2x+1+4^x，x∈A的值域．

Answer 1

解：（1）由log₂（2x）•log₂x=log₂²x+log₂x≤0，得-1≤log₂x≤0
解得∴
（2）令4^x=t，则t∈[2，4]
y=g（t）=4t²+t，对称轴为
∴g（t）在[2，4]上单调递增
故y_min=g（2）=18，y_max=g（4）=68
∴y=4^2x+1+4^x的值域为[18，68]．
分析：（1）利用对数函数的运算法则将已知的不等式化为关于log₂x的二次不等式，通过解二次不等式求出log₂x的范围，再利用对数函数的单调性求出x的范围．
（2）令4^x=t，则将函数转化为二次函数，求出二次函数的对称轴，判断出二次函数的单调性，求出二次函数的值域．
点评：本题考查二次不等式的解法、二次函数最值的求法、利用对数函数的单调性求对数不等式的解、换元法要注意新变量的范围．