Question

已知函数f（x）=-x²+8x，g（x）=6lnx+m。
（1）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（2）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，h（t）=f（t）=-t²+8t
综上，。
（2）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数φ（x）=g（x）-f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点
∵φ（x）=x²-8x+6lnx+m
∴φ′（x）=
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数；
当x∈（0，3）时，φ'（x）＜0，φ（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，φ'（x）=0
∴φ（x）_最大值=φ（1）=m-7，φ（x）_最小值=φ（3）=m+6ln3-15
∵当x充分接近0时，φ（x）＜0，当x充分大时，φ（x）＞0
∴要使φ（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即7＜m＜15-6ln3
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
m的取值范围为（7，15-6ln3）。