Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若为的两个极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．（2）证明见解析．

【解析】

（1）求函数导数，分类讨论函数的正负，可得函数的单调性；

（2）由（1）知，且，不等式作差得，即证对成立，进而构造函数求最值证明即可.

（1）的定义域为，，

对于函数，

①当时，即时，在恒成立．

在恒成立，在为增函数；

②当，即或时，

当时，由，得或，，

在为增函数，减函数，

为增函数，

当时，由在恒成立，

在为增函数．

综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；

当时，在为增函数．

（2）由（1）知，且，

故

故只需证明，

令，故，

原不等式等价于对成立，

令，所以单调递减，有

得证.