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如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.
 a11 a12 a1n
 a21 a22 … a2n




 …

 an1 an2 … ann
对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,Cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A)=ri(A)+Cj(A).
(Ⅰ)对如下数表A∈S(4,4),求l(A)的值;
11-1-1
1-111
1-1-11
-1-111
(Ⅱ)证明:存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;
(Ⅲ)给定n为奇数,对于所有的A∈S(n,n),证明:l(A)≠0.
【答案】分析:(Ⅰ)计算r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;C1(A)=C2(A)=C4(A)=-1,C3(A)=1,利用定义,可得结论;
(Ⅱ)确定r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,C1(A)=C2(A)=…=Ck(A)=-1,即可证得结论;
(Ⅲ)用反证法,假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0,利用条件引出矛盾.
解答:(Ⅰ)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;C1(A)=C2(A)=C4(A)=-1,C3(A)=1,
所以l(A)=ri(A)+Cj(A)=0.                         …(3分)
(Ⅱ)证明:(ⅰ)对数表A:aij(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A)=2n.
将数表A中的a11由1变为-1,得到数表A1,显然l(A1)=2n-4.
将数表A1中的a22由1变为-1,得到数表A2,显然l(A2)=2n-8.
依此类推,将数表Ai-1中的akk由1变为-1,得到数表Ak
即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余aij=1.
所以r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,C1(A)=C2(A)=…=Ck(A)=-1.
所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中k=1,2,…,n.…(7分)
(Ⅲ)证明:用反证法.
假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
因为ri(A)∈{1,-1},Cj(A)∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),
所以为ri(A),Cj(A)(1≤i≤n,1≤j≤n),这2n个数中有n个1,n个-1.
令M=r1(A)•r2(A)•…•rn(A)C1(A)C2(A)•…•Cn(A).
一方面,由于这2n个数中有n个1,n个-1,从而M=(-1)n=-1.     ①
另一方面,r1(A)•r2(A)•…•rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m);C1(A)C2(A)•…•Cn(A)也表示m,从而M=m2=1.               ②
①、②相互矛盾,从而不存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.
即n为奇数时,必有l(A)≠0.                              …(13分)
点评:本题考查新定义,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,考查反证法的运用,难度较大.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.
 a11  a12  a1n
 a21  a22  …  a2n




 …

 an1  an2  …  ann
对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,Cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A)=
n
i=1
ri(A)+
n
j=1
Cj(A).
(Ⅰ)对如下数表A∈S(4,4),求l(A)的值;
1 1 -1 -1
1 -1 1 1
1 -1 -1 1
-1 -1 1 1
(Ⅱ)证明:存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;
(Ⅲ)给定n为奇数,对于所有的A∈S(n,n),证明:l(A)≠0.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中au(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且au∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.
对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A=
n
i-1
r
i
(A)+
n
j-1
c
j
(A)).
(Ⅰ)请写出一个A∈s(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在A∈S(9,9),使得l(A)=0?说明理由;
(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的A∈S(n,n),求l(A)的取值集合.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•东城区一模)设A是由n个有序实数构成的一个数组,记作:A=(a1,a2,…,ai,…,an).其中ai(i=1,2,…,n)称为数组A的“元”,S称为A的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”,则称A=(a1,a2,…,an)为B=(b1,b2,…bn)的子数组.定义两个数组A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)的关系数为C(A,B)=a1b1+a2b2+…+anbn
(Ⅰ)若A=(-
1
2
1
2
)
,B=(-1,1,2,3),设S是B的含有两个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值;
(Ⅱ)若A=(
3
3
3
3
3
3
)
,B=(0,a,b,c),且a2+b2+c2=1,S为B的含有三个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值;
(Ⅲ)若数组A=(a1,a2,a3)中的“元”满足a12+a22+a32=1.设数组Bm(m=1,2,3,…,n)含有四个“元”bm1,bm2,bm3,bm4,且bm12+bm22+bm32+bm42=m,求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的关系数C(A,Bm)(m=1,2,3,…,n)的最大值.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中au(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且au∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.
对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A=(A)+(A)).
(Ⅰ)请写出一个A∈s(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在A∈S(9,9),使得l(A)=0?说明理由;
(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的A∈S(n,n),求l(A)的取值集合.
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann

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