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    如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
    对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=（A）+（A））．
    （Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；
    （Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；
    （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．
    a11a12…a1n
    a21a22…a2n
    …………
    an1an2…ann

    【答案】分析：（Ⅰ）可以取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
    （Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
    （Ⅲ）通过分析正确得出l（A）的表达式，及从A如何得到A1，…依此类推即可得到Ak．
    解答：（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
    -1-1-1-1
    1111
    1111
    1111
    （Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．                 
    证明如下：
    假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
    因为ri（A）∈{1，-1}，cj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，9），
    所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个-1．
    令M=r1（A）•…r9（A）c1（A）…c9（A）．
    一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而M=-1．  ①
    另一方面，r1（A）•…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）•…c9（A）也表示m，从而M=m2=1．             ②
    ①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．        
    （Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．
    一方面，从“行”的角度看，有P=r1（A）•r2（A）…rn（A）；
    另一方面，从“列”的角度看，有P=c1（A）c2（A）…cn（A）．
    从而有r1（A）•r2（A）…rn（A）=c1（A）c2（A）…cn（A）．     ③
    注意到ri（A）∈{1，-1}，cj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，n），
    下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中-1的个数：
    由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n-2k，
    所以l（A）=（-1）×2k+1×（2n-2k）=2（n-2k）．         
      对数表A：aij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A）=2n．
    将数表A中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．
    将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．
    依此类推，将数表Ak-1中的akk由1变为-1，得到数表Ak．
    即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1．
    所以 r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，c1（A）=c2（A）=…=ck（A）=-1．
    所以l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k．
    由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n-2k）|k=0，1，2，…n}．
    点评：正确理解数表A的结构特点及l（A）的性质是解题的关键．注意由特殊到一般的思想方法和反证法的应用．本题需要较强的逻辑推理能力．
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    如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j=1，2，3…，n）表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
     a11  a12 …  a1n
     a21  a22  …  a2n
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     an1  an2  …  ann
    对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，Cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A）=
    n
    i=1
    ri（A）+
    n
    j=1
    Cj（A）．
    （Ⅰ）对如下数表A∈S（4，4），求l（A）的值；
    1 1 -1 -1
    1 -1 1 1
    1 -1 -1 1
    -1 -1 1 1
    （Ⅱ）证明：存在A∈S（n，n），使得l（A）=2n-4k，其中k=0，1，2，…，n；
    （Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A∈S（n，n），证明：l（A）≠0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
    对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=
    n
    i-1
    r    i    （A）+
    n
    j-1
    c    j    （A））．
    （Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；
    （Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；
    （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．
    a11 a12 … a1n
    a21 a22 … a2n
    … … … …
    an1 an2 … ann

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，ai，…，an）．其中ai（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，an）为B=（b1，b2，…bn）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．
    （Ⅰ）若A=(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
    （Ⅱ）若A=(
    		3
    3
    ，
    		3
    3
    ，
    		3
    3
    )    ，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
    （Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足a12+a22+a32=1．设数组Bm（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”bm1，bm2，bm3，bm4，且bm12+bm22+bm32+bm42=m，求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，Bm）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j=1，2，3…，n）表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
     a11 a12… a1n
     a21 a22 … a2n
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    •    		 …•
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     an1 an2 … ann
    对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，Cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A）=ri（A）+Cj（A）．
    （Ⅰ）对如下数表A∈S（4，4），求l（A）的值；
    11-1-1
    1-111
    1-1-11
    -1-111
    （Ⅱ）证明：存在A∈S（n，n），使得l（A）=2n-4k，其中k=0，1，2，…，n；
    （Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A∈S（n，n），证明：l（A）≠0．

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