Question

（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次性购物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X_i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X₁=1且X₂=1）+P（（X₁=1且X₂=1.5）+P（（X₁=1.5且X₂=1），由于各顾客的结算相互独立，且X_i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
将频率视为概率可得P（X=1）=

15

100

=0.15；P（X=1.5）=

30

100

=0.3；P（X=2）=

25

100

=0.25；P（X=2.5）=

20

100

=0.2；P（X=3）=

10

100

=0.1
X的分布列

X	1	1.5	2	2.5	3
P	0.15	0.3	0.25	0.2	0.1

X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9
（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X_i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P（A）=P（（X₁=1且X₂=1）+P（（X₁=1且X₂=1.5）+P（（X₁=1.5且X₂=1）
由于各顾客的结算相互独立，且X_i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以
P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125．

点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题．