Question

已知函数f（x）满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Π）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）观察题设中的条件可知在条件（Π）中，令x=0可得f（0）≥0，在条件（Ⅲ）令x₁=0，x₂=0可得f（0）≤0，由此可以  推断出f（0）=0．
（2）观察发现f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x），欲证明命题成立，只须证明f（y-x）≥0，由于y-x≥0，由条
件（Π）即可得，故问题可证．
（3）探究f（x）与2x的大小关系，可先代入一些特殊值进行探究，确定证明方向再用反证法证明．

解答：解：（1）由函数f（x）满足条件（Π）知f（0）≥0；（1分）
在条件（Ⅲ）中，令x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），
∴f（0）≤0；（3分）
故f（0）=0．（4分）

（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有0≤y-x≤1成立；（5分）
由f（x）满足条件（Π）可得：f（y-x）≥0；（6分）
再由f（x）满足条件（Ⅲ）可得：
f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x）≥f（x），（8分）
即对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；（9分）

（3）当

1

2

≤x≤1时，2x≥1，
由第（2）问结论知f（x）≤f（1）=1，∴f（x）≤2x；
当x=0时，由f（0）=0知f（x）≤2x也成立；
故可猜想：当0≤x≤1时，f（x）≤2x（10分）
下面用反证法证明猜想成立：
假设存在x_°∈[0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
由f（0）=0知x₀≠0，故必存在正整数k
使得x₀∈[

1

2k

，

1

2k-1

]，∴x₀，2x₀，4x₀，，2^k-1x₀均在[0，1上，
由条件（Ⅲ）及假设知：
f（2x₀）=f（x₀+x₀）≥f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）＞4x₀，
故f（4x₀）＞8x₀，，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀；（12分）
∵x₀∈[

1

2k

，

1

2k-1

]，∴

1

2

≤2k-1x0≤1，∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1
又∵2^kx₀≥1，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀，
∴f（2^k-1x₀）＞1，与f（2^k-1x₀）≤1矛盾，故假设不成立；
所以对于任意的0≤x≤1，都有f（x）≤2x成立．（14分）

点评：本题考点是抽象函数及其运用，考查通过灵活赋值求函数的值，利用抽象函数的性质灵活变形证明不等式本题难度较大，需要答题者有较高的数学素养及较强的运用知识创新解题的方法，是一个能力型较强的题．题后应好好总结本题综合利用知识变形的规律，创新应用知识构造问题的解决方法是一种重要的数学素质，学习数学时要注意培养这一能力．