Question

16．已知数列{a_n}为首项为1，公差为2的等差数列
（1求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n-1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即得结论；
（2）通过（1）裂项相加可知T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$，进而作差可知数列{T_n}为递增数列，计算即可．

解答 解：（1）因为a₁=1，数列{a_n}为公差等于2的等差数列，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$，
∵T_n+1-T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$-[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$]
=$\frac{1}{2（2n+1）}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$＞0，
∴T_n+1＞T_n，即数列{T_n}为递增数列，
∴T_n的最小值为T₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．