Question

已知双曲线C：-y²=1,以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为__________,若动点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且=2,则线段AB中点的轨迹方程为________.

Answer 1

(x-)²+y²=1，x²+16y²=4 

解析：本题考查双曲线的几何性质以及轨迹方程的求法.已知双曲线方程为-y²=1，所以右焦点坐标为F(,0)，渐近线方程为y=±.所以以F为圆心与渐近线相切的圆的半径为点F到y=±的距离，所以r==1，所以圆的方程为：(x-)²+y²=1.设A、B的坐标分别为(-a,2a)，(b,2b).中点M(x，y)，根据题意x==b+a,又|AB|=2，|AB|²=(a+b)²+4(a-b)²=4，∴4=x²+16y²，所以AB中点的轨迹方程为x²+16y²=4.