Question

已知双曲线C：y²-x²=8，直线l：y=-x+8，若椭圆M与双曲线C有公共焦点，与直线l有公共点P，求椭圆长轴的最小值及此时P点的坐标．

Answer 1

分析：求出双曲线与椭圆的公共焦点，根据焦点设出椭圆的方程，将直线与椭圆的方程联立，消去x，令判别式大于等于0求出a的范围，即得到椭圆的长轴的长的最小值，进一步求出点p的坐标及直线的方程．

解答：解：双曲线C：y²-x²=8与椭圆M的公共焦点（0，±4），
可设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

a2-16

=1
联立：

y2 a2 + x2 a2-16 =1 y=-x+8

⇒（2a²-16）x²-16（a²-16）x+（64-a²）（a²-16）=0
由于椭圆与直线l有公共点P，故△=16²（a²-16）²-4（2a²-16）（64-a²）（a²-16）≥0
解得：a≥2

10

，故长轴2a最小值为4

10

此时，上述方程为x²-6x+9=0，得：x=3
代入l方程为y=5，因此P（3，5）

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，常用的方法是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立来解决．