Question

设函数f(x)=

1

3

(a-1)x3-

1

2

ax2+x（a∈R）[
（Ⅰ）若y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于

1

4

，求a的值；
（II）当a＜2时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）由题目条件知，点P（1，f（1））为切点，且函数在该点处的导数值为切线的斜率，求出切线方程，利用切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积，从而建立关于a的方程，可求得a的值；
（II）由函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间．

解答：解：（I）∵f'（x）=（a-1）x²-ax+1，∴f'（1）=（a-1）+1-a=0
又∵f（1）=

1

3

（a-1）-

1

2

a+1=-

a-4

6

，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的方程为y=-

a-4

6

，
由

y=- a-4 6 x-2y=0

，得

x=- a-4 3 y=- a-4 6

，
则切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于

1

2

×

1

6

|a-4|×

1

3

|a-4|=

1

4

，
解得，a=7或a=1．
（II）f'（x）=（a-1）x²-ax+1=（x-1）[（a-1）x-1]
①当a=1时，f′（x）=1-x，则f（x）在（-∞，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数；
②当1＜a＜2时，f′（x）≤0得1≤a≤

1

a-1

，则f（x）在（-∞，1]、[

1

a-1

，+∞）上是增函数，在[1，

1

a-1

]上是减函数；
③当a＜1时，f′（x）≥0得

1

a-1

≤a≤1，则f（x）在（-∞，

1

a-1

]，[1，+∞）上是减函数，在[

1

a-1

，1]上是增函数．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．