Question

请考生注意：重点高中学生做（2）（3）．一般高中学生只做（1）（2）．
已知函数f(x)=(1-a)x-lnx-

a

x

-1(a∈R)
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=

3

4

时，设g（x）=x²-bx+1，若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，即可求得a的值；
（2）若a=1时，利用导数的正负可得y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
若a≠1时，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=

a

1-a

，结合函数的定义域分类讨论，即可求得结论；
（3）当a=

3

4

时，f（x）在（0，2]的最大值为f（1）=-

3

2

，若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等价于函数f（x）在（0，2]的最大值-

3

2

不大于g（x）在[1，2]的最大值，利用配方法确定函数g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值，即可得到实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=(1-a)x-lnx-

a

x

-1(a∈R)
∴f′（x）=

(1-a)x2-x+a

x2

(x＞0)
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴0=

6-8a

9

∴6-8a=0
∴a=

3

4

；
（2）若a=1时，f′(x)=-

x-1

x2

，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
若a≠1时，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=

a

1-a

①若

a

1-a

≤0，则a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
②若

a

1-a

＞0，即0＜a＜1时
（Ⅰ）0＜a＜

1

2

时，

a

1-a

＜1，在（0，

a

1-a

），（1，+∞）上为增函数，在（

a

1-a

，1）上为减函数
（Ⅱ）

1

2

＜a＜1时，在（0，1），（

a

1-a

，+∞）上为增函数，在（1，

a

1-a

）上为减函数
（Ⅲ）a=

1

2

时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上恒为增函数．
（3）当a=

3

4

时，由（1）知，函数f(x)=

1

4

x-lnx-

3

4x

-1在 （0，1）是增函数，在（1，2）是减函数
∴f（x）在（0，2]的最大值为f（1）=-

3

2

若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等价于函数f（x）在（0，2]的最大值-

3

2

不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x²-bx+1的对称轴是直线x=

b

2

①当

b

2

≤

3

2

，即b≤3时，g（x）在[1，2]为增函数，则g（x）_max=g（2）=5-2b，
∴-

3

2

≤5-2b，∴b≤

13

4

，满足b≤3；
②当

b

2

＞

3

2

，即b＞3时，g（x）在[1，2]为减函数，则g（x）_max=g（1）=2-b，
∴-

3

2

≤2-b，∴b≤

7

2

，∴3＜b≤

7

2

，
综上，实数b的取值范围为b≤

7

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．