Question

【题目】设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不

同的点，且（O为原点）．

（1）判断是否为定值，并说明理由；

（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）为定值5．将直线y=2x﹣1与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理即可得到定值；

（2）运用双曲线的离心率公式和（1）的结论，解不等式即可得到所求实轴的范围．

（1）为定值5．

理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，

可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），

即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，

化为1+b2﹣4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得

x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，

即5﹣2+1=0，

化为5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值．

（2）由双曲线离心率时，

即为＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，

由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，

由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，

则双曲线实轴长的取值范围为（0，）．