Question

（选做题）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+4）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由不等式f（x）≥3可得|x-a|≥3，解得 x≤a-3，或x≥a+3．
再由f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，可得a-3=-1，a+3=5，解得a=2．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|x-2|，设g（x）=f（x）+f（x+4），
则g（x）=|x-2|+|x+2|，表示数轴上的x对应点到2和-2对应点的距离之和，它的最小值为4，
若f（x）+f（x+4）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．
故实数m的取值范围为（-∞，4]．
分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≥3的解集，和已知的解集作对比，从而求得实数a的值．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+4）=|x-2|+|x+2|，表示数轴上的x对应点到2和-2对应点的距离之和，它的最小值
为4，从而求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．