Question

10．已知关于x的不等式$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≥k有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 由已知得0≤x≤2，（$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$）²=2+2$\sqrt{x（2-x）}$=2+2$\sqrt{-（x-1）^{2}+1}$∈[2，4]，从而得到$\sqrt{2}$≤$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≤2，由此能求出实数k的取值范围．

解答 解：∵不等式$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≥k有实数解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，解得0≤x≤2 
（$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$）²=2+2$\sqrt{x（2-x）}$=2+2$\sqrt{-（x-1）^{2}+1}$，
∵二次函数 y=-（x-1）²+1在 0≤x≤2区间内的取值范围为0≤y≤1，
∴2≤（$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$）²≤4
又$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≥0，∴$\sqrt{2}$≤$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≤2，
∵x的不等式$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≥k有实数解，
∴k≤2．
故实数k的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数性质、等价转化思想的合理运用．