Question

5．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（B-C）+cos（B+C）=0．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{2}$，当sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B）取得最大值时，求A，α的值．

Answer 1

分析 （1）直接展开两角差的正弦和两角和的余弦，整理后可得角C的大小；
（2）由（1）可得A+B=$\frac{3π}{4}$，得到$B=\frac{3π}{4}-A$，代入sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B），可得A=$\frac{π}{3}$时取得最大值，然后由正弦定理求得a的值．

解答 解：（1）由sin（B-C）+cos（B+C）=0，得sinBcosC-cosBsinC+cosBcosC-sinBsinC=0，
即（sinB+cosB）cosC-（sinB+cosB）sinC=0，
∴（sinB+cosB）（sinC-cosC）=0．
∵△ABC为锐角三角形，∴sinB+cosB≠0，则sinC-cosC=0，C=$\frac{π}{4}$；
（2）sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B）=sinA+cos（$\frac{7π}{12}-\frac{3π}{4}+A$）=sinA+cos（A-$\frac{π}{6}$）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$=$\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）$=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$．
当A=$\frac{π}{3}$时，sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B）有最大值．
∵c=$\sqrt{2}$，由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得a=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．