Question

16．已知f（x）=x²-2bx+c（b，c∈R）的一个零点为1．
（1）若对任意实数x，f（4-x）=f（x）恒成立，求f（x）的另一个零点；
（2）若f（x）在区间[0，4]上的最小值为-4，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据对任意实数x，f（4-x）=f（x）恒成立，f（1）=0，可得f（3）=0；
（2）若f（x）在区间[0，4]上的最小值为-4，可求得b，c的值，进而得到f（x）的解析式．

解答 解：（1）∵对任意实数x，f（4-x）=f（x）恒成立，f（1）=0，
故f（4-1）=f（1）=f（3）=0，
故f（x）的另一个零点为3；
（2）函数f（x）=x²-2bx+c的图象是开口朝上，且以直线x=b为对称轴的抛物线，
若b≤0，则在区间[0，4]上，函数f（x）为增函数，
当x=0时f（x）取最小值c=-4，
此时f（1）=1-2b-4=0．
解得：b=$-\frac{3}{2}$，故f（x）=x²+3x-4；
若0＜b＜4，则在区间[0，b上，函数f（x）为减函数，在区间[b，4]上，函数f（x）为增函数，
当x=b时f（x）取最小值c-b²=-4，
此时f（1）=1-2b+c=0．
解得：b=3，或b=-1（舍去），故f（x）=x²-6x+5；
若b≥4，则在区间[0，4]上，函数f（x）为减函数，
当x=4时f（x）取最小值16-8b+c=-4，
此时f（1）=1-2b+c=0．解得：b=$\frac{19}{6}$，不满足条件；
综上所述，f（x）=x²+3x-4，或f（x）=x²-6x+5．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．