Question

7．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=$\sqrt{3}$csinA-acosC．
（1）求角C；
（2）若c=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，b．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得：sinA=$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC，由sinA≠0，可得：2sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，结合范围0＜C＜π，-$\frac{π}{6}$＜C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，即可解得C的值．
（2）由余弦定理可得：4=（a+b）²-3ab，①，由△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，解得：ab=4，②，由①②即可解得：a=b=2．

解答 解：（1）∵a=$\sqrt{3}$csinA-acosC．
∴由正弦定理可得：sinA=$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴1=$\sqrt{3}$sinC-cosC，可得：2sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，-$\frac{π}{6}$＜C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，解得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=2，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，①，
∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，解得：ab=4，②
∴由①②解得：a=b=2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．