Question

18．己知函数f（x）=（x-l）（log₃a）²-6（log₃a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（　　）

• A． -1＜a＜$\frac{1}{3}$
• B． a＜$\frac{1}{3}$
• C． a＞$\root{3}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$＜a＜$\root{3}{3}$

Answer 1

分析 由于一次项系数含有参数，必须分类讨论．当a=1时，显然成立；当a≠1时，要使函数f（x）=（x-1）（log₃a）²-6（log₃a）x+x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，从而可求a的取值范围．

解答 解：当a=1时，f（x）=x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数；
当a≠1时，要使函数f（x）=（x-1）（log₃a）²-6（log₃a）x+x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，
则有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-（lo{g}_{3}a）^{2}+1＞0}\\{-6lo{g}_{3}a+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\root{3}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，主要考查利用函数思想解决恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属中高档题．