Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=-$\frac{3}{5}$．
（1）求sinA的值；    
（2）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得：cosA=-$\frac{3}{5}$，又0＜A＜π，则可求sinA的值．
（2）由正弦定理，可求sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由题知a＞b，可求B=$\frac{π}{4}$，根据余弦定理，解得c，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=-$\frac{3}{5}$，
得cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$．
则cos（A-B+B）=-$\frac{3}{5}$，即cosA=-$\frac{3}{5}$，
又0＜A＜π，则sinA=$\frac{4}{5}$．
（2）由正弦定理，有$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
所以sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由题知a＞b，则A＞B，故B=$\frac{π}{4}$，
根据余弦定理，有（4$\sqrt{2}$）²=5²+c²-2×$5c×（-\frac{3}{5}）$，解得c=1或c=-7（负值舍去）．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×1×\frac{4}{5}$=2．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握灵活应用公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查．