Question

19．如果-$\frac{1}{a}+\frac{2}{x}$+2x≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{2a}$≤x+$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，运用基本不等式求得右边函数的最小值，由恒成立思想解不等式即可得到a的范围．

解答 解：-$\frac{1}{a}+\frac{2}{x}$+2x≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即为
$\frac{1}{2a}$≤x+$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
由f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取得最小值2，
即有$\frac{1}{2a}$≤1，解得a＜0或a≥$\frac{1}{2}$．
则有实数a的取值范围是（-∞，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．