Question

给定实数a（a≠

1

2

），设函数f（x）=2x+（1-2a）ln（x+a）（x＞-a，x∈R），f（x）的导数f′（x）的图象为C₁，C₁关于直线y=x对称的图象记为C₂．
（Ⅰ）求函数y=f′（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于所有整数a（a≠-2），C₁与C₂是否存在纵坐标和横坐标都是整数的公共点？若存在，请求出公共点的坐标；若不若存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后再求出导数函数的导数，即函数的二阶导数，并由此判断函数导数的单调区间；
（2）利用根的存在性定理进行计算．

解答：解：（Ⅰ）设g（x）=f′（x）=2+

1-2a

x+a

=

2x+1

x+a

，
则g′（x）=

2a-1

(x+a)2

，
当a≥

1

2

时，函数y=f′（x）在区间（-∞，-a]、（-a，+∞）上单调递增，
当a＜

1

2

时，函数y=f′（x）在区间（-∞，-a]、（-a，+∞）上单调递减，
∴函数y=f′（x）的单调区间是（-∞，-a]、（-a，+∞）．
（Ⅱ）易知C₂对应的函数为y=

1-ax

x-2

，
由

2x+1

x+a

=

1-ax

x-2

，
化简可得（a+2）[x²+（a-2）x-1]=0，
∵a≠-2，
∴依题意知x²+（a-2）x-1=0的两根均为整数，
由x²+（a-2）x-1=0，
有a=

1-x2

x

+2=2+

1

x

-x，
又

1

x

∈Z，
∴x=±1
∴a=2，
∴纵坐标和横坐标都是整数的公共点是（1，1）与（-1，-1）．

点评：掌握函数求导的方法以及单调区间的判断，熟悉根的存在性定理及其运用．