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给出下列四个判断:
①定义在R上的奇函数f(x),当x>0时f(x)=x2+2,则函数f(x)的值域为{y|y≥2或y≤-2};
②若不等式x3+x2+a<0对一切x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是{a|a<-12};
③当f(x)=log3x时,对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)都有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

④设g(x)表示不超过t>0的最大整数,如:[2]=2,[1.25]=1,对于给定的n∈N+,定义
C
x
n
=
n(n-1)…(n-[x]+1)
x(x-1)…(x-[x]+1)
,x∈[1,+∞),则当x∈[
3
2
,2)时函数
C
x
8
的值域是(4,
16
3
]

上述判断中正确的结论的序号是
②④
②④
分析:根据题意,结合当x=0时f(0)=0,故①错误;
分离参数a,得a<-(x3+x2),只需求-(x3+x2)在x∈[0,2]时的最小值即可;
利用对数的运算法则判断出f(
x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2
>0;
对“
C
x
n
=
n(n-1)…(n-[x]+1)
x(x-1)…(x-[x]+1)
”理解是解决此题的问题,如求
C
3
2
8
,它是由一个分式的分子和分母两部分构成,分子是8,分母是
3
2
.按此理解将函数Cx8的值域问题转化成一个函数的值域求解.
解答:解:①∵f(x)在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)的值域为{y|y≥2或y≤-2}是错误的;
②∵x3+x2+a<0对一切x∈[0,2]恒成立,∴a<-(x3+x2),
若令y=-(x3+x2),则y′=-3x2-2x
由于y′≤0在x∈[0,2]上恒成立,
则函数y=-(x3+x2)在x=2时取得最小值是-12,∴a<-12,
故a的取值范围是{a|a<-12}是正确的;
③∵f(x)=log3x时,对于f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),
f(
x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2
=log3
x1+x2
2
-
log3x1+log3x2
2

=log3
x1+x2
2
-log3
x1x2

由于两数的算术平均数大于几何平均数,
故log3
x1+x2
2
-log3
x1x2
>0,
f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2
是错误的;
④当x∈[
3
2
,2)时,
C
3
2
8
=
8
3
2
=
16
3
,当x→2时,[x]=1,
C
x
8
=
8
2
=4

则当x>0时函数
C
x
8
的值域是(4,
16
3
]
,故④正确;
故答案为:②④
点评:本题着重考查了函数的奇偶性、单调性及其联系和函数值域的求法等知识,
此题还考查了求参数范围,一般用分离参数法,进而求函数的值域.属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数f(x)=(x2-2x-3)ex,给出下列四个判断:
①f(x)<0的解集是{x|-1<x<3};
②f(x)有极小值也有极大值;
③f(x)无最大值,也无最小值;
④f(x)有最大值,无最小值.
其中判断正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=
x,x∈P
-x,x∈M
其中P,M为实数集R的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断其中正确的序号为
②④
②④

①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;   
②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;
③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;  
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.

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已知函数f(x)=(
13
)x-log2x
,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点.给出下列四个判断:①d<a;②d>b;③d<c;④d>c.其中可能成立的序号是
①②③
①②③
.(把你认为正确的命题的序号都填上).

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科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=
x,x∈P
-x,x∈M
其中P,M为实数集R的两个非空子集,规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断:
①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R; ④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.
其中判断不正确的有
 

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