Question

关于函数f（x）=（x²-2x-3）e^x，给出下列四个判断：
①f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}；
②f（x）有极小值也有极大值；
③f（x）无最大值，也无最小值；
④f（x）有最大值，无最小值．
其中判断正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：①解不等式即可，要注意e^x＞0．②利用导数判断极值情况．③由函数的极值去判断函数的最值情况．④由函数的极值去判断函数的最值情况．

解答：解：①因为e^x＞0，所以由f（x）＜0得）=（x²-2x-3）e^x＜0，即x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，即f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}，所以①正确．
②函数的导数为f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x-3）e^x=（x²-5）e^x，由f'（x）＞0，得x＞

5

或x＜-

5

．由f'（x）＜0得-

5

＜x＜

5

，
所以当x=

5

时函数取得极小值．当x=-

5

时函数取得极大值．所以②正确．
③由②知，当x＞

5

或x＜-

5

时，函数单调递增，所以f（x）无最大值，也无最小值．所以③正确．
④由③知f（x）无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选A．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值和最值问题．要熟练掌握导数符号与极值和最值之间的对应关系．