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关于函数f(x)=cos4x-sin4x有下面有五个命题,其中真命题的序号是
①②
①②
.①最小正周期是π;    ②向右平移
π
4
可以得到y=sin2x的图象;③在[0,
π
2
]
上是增函数; ④同一坐标系中,和函数y=x的图象有三个公共点.
分析:把函数解析式利用平方差公式化简后,根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,找出ω的值,代入周期公式求出函数最小正周期,即可对选项①作出判断;
利用平移规律“左加右减”,对函数解析式进行变形,得到平移后函数解析式,即可作出判断;
根据余弦函数的单调性,对已知的区间进行判断,发现函数在此区间为减函数,本选项为假命题;
设出g(x)=f(x)-x,求出导函数g′(x),根据导函数的正负得到函数的单调性,根据单调性求出函数g(x)的最小值,即可得到原函数与y=x图象交点的个数,进而作出判断.
解答:解:f(x)=cos4x-sin4x
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)
=cos2x,
∵ω=2,∴T=
2
=π,故选项①为真命题;
把f(x)=cos2x向右平移
π
4
后,
其解析式为y=cos2(x-
π
4
)=cos(2x-
π
2
)=cos(
π
2
-2x)=sin2x,故选项②为真命题;
∵0≤2x≤π,即0≤x≤
π
2
时,余弦函数cos2x为减函数,故选项③为假命题;
设g(x)=cos2x-x,求导得g′(x)=-2sin2x-1,
当2x∈[0,π],即x∈[0,
π
2
]时,sin2x∈[0,1],g′(x)<0,函数g(x)单调减;
当2x∈[-π,0],即x∈[-
π
2
,0]时,sin2x∈[-1,0],g′(x)>0,函数g(x)单调增,
故g(x)的最小值为g(0)=1,同一坐标系中,和函数y=x的图象有一个公共点,故选项④为假命题,
则其中真命题的序号为①②.
故答案为:①②
点评:此题考查了二倍角的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,余弦函数的单调性,利用导数研究函数的单调性及最值以及函数的平移规律,其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键.
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8、关于函数f(x)=2x-2-x(x∈R)有下列三个结论:①f(x)的值域为R;②f(x)是R上的增函数;③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立;其中所有正确的序号为(  )

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f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2
,则下面关于函数f(x)判断正确的是(  )

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③f(x)无最大值,也无最小值;
④f(x)有最大值,无最小值.
其中判断正确的是(  )

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给出定义:若m-
1
2
<x≤m+
1
2
(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|的四个命题:
①函数y=f(x)定义域是R,值域是[0,
1
2
]

②函数y=f(x)的图象关于直线x=
k
2
(k∈Z)
对称;
③函数y=f(x)是周期函数,最小正周期是1;
④函数y=f(x)在[-
1
2
1
2
]
上是增函数.
则其中真命题是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数f(x)=sin2x-(
2
3
)|x|+
1
2
,有下列四个结论:
①f(x)为偶函数;     ②当x>2003时,f(x)>
1
2
恒成立;
③f(x)的最大值为
3
2
; ④f(x)的最小值为-
1
2
.其中结论正确个数为(  )

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