Question

关于函数f（x）=lg

x

x2+1

，有下列结论：①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的最小值为-lg2；④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

分析：①函数f（x）的定义域是（0，+∞），求出定义域验证；②函数f（x）是奇函数，利用奇函数的定义进行判断；③函数f（x）的最小值为-lg2，利用基本不等式与对数的运算性质求出最值；④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数，求出导数，解出单调区间，验证即可．

解答：解：①函数f（x）的定义域是（0，+∞），令

x

x2+1

＞0，解得x＞0，故定义域是（0，+∞），命题正确；
②函数f（x）是奇函数，由①知，定义域不关于原点对称，故不是奇函数，命题不正确；
③函数f（x）的最小值为-lg2，不正确，因为f(x)=lg

x

x2+1

=lg

1

x+ 1 x

≤lg

1

2

=-lg2，最大值是-lg2，故命题不正确；
④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数，命题正确，因为f′(x)=lg

1-x2

(x2+1)2

，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数大于0，得x＞1，故命题正确．
综上，①④正确
故选C．

点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点解题的关键是熟练掌握对数的性质，且能熟练利用这些性质对四个命题作出判断，本题考查了推理论证的能力以及计算论证的能力．