Question

（2013•成都二模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对?x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂时都有 f（x₁）≥f（x₂），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又当x∈[0，

1

4

]时，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命题：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，时，f（x₁）≠f（x）
③?x∈[

1

4

，

3

4

]时，都有f(x)=

1

2

④函数f（x）的图象关于点(

1

2

，

1

2

)对称
其中你认为正确的所有命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：对于①，在等式f（x）+f（l-x）=l中取x=0，得f（1）=0，然后直接利用“非增函数”的定义进行判断；
对于③，由x∈[0，

1

4

]时，f（x）≤-2x+1恒成立得到f（

1

4

）≤

1

2

，在等式f（x）+f（l-x）=l中，取x=

1

2

得到
f（

1

2

）=

1

2

，而

1

4

＜

1

2

，从而说明f(

1

4

)≥

1

2

．利用两边夹的思想得到f（

1

4

）=

1

2

．同理得到f(

3

4

)=

1

2

．结合新定义即可得到结论；
对于②，由③的证明能说明其不正确；
把给出的等式f（x）+f（l-x）=l变形即可得到命题④正确．

解答：解：对于①，因为f（0）=1，且f（x）+f（l-x）=l，取x=0，得f（1）=0，对?x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
对于③，因为当x∈[0，

1

4

]时，f（x）≤-2x+1恒成立，f（

1

4

）≤

1

2

，
又f（x）+f（l-x）=l，所以f（

1

2

）=

1

2

，而

1

4

＜

1

2

，所以f(

1

4

)≥

1

2

．所以f（

1

4

）=

1

2

．
同理有f(

3

4

)=

1

2

．当x∈[

1

4

，

3

4

]，由“非增函数”的定义可知，f(

3

4

)≤f(x)≤f(

1

4

)，所以f(x)=

1

2

．
所以③正确；
对于②，由③可知当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，f（x₁）与f（x₂）可能相等．所以②不正确；
对于④，由f（x）+f（l-x）=l，得f(

1

2

+x)+f(

1

2

-x)=1．
所以函数f（x）的图象关于点(

1

2

，

1

2

)对称．
所以正确命题的序号是①③④．
故答案为①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．