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    已知二阶矩阵M=（
    a1
    0b
    ）有特征值λ1=2及对应的一个特征向量
    e
    1    =
    1
    1
    ．
    （Ⅰ）求矩阵M；
    （II）若
    a
    =
    2
    1
    ，求M10
    a
    ．
    （2）已知直线l：
    x=1+
    1
    2
    t
    y=
    		3
    2
    t
    （t为参数），曲线C1：
    x=cosθ
    y=sinθ
      （θ为参数）．
    （Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
    （Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
    1
    2
    倍，纵坐标压缩为原来的
    		3
    2
    倍，得到曲线C2C，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
    （3）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
    （Ⅰ）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
    （Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
    分析：（1）（Ⅰ）利用二级矩阵与平面列向量的乘法法则，可得结论；
    （Ⅱ）确定矩阵M的特征多项式，确定矩阵M的另一个特征值，进而可得
    a
    =
    e1
    +
    e2
    ，由此可求M10
    a
    ；
    （2）（Ⅰ）将l、曲线C1，化为普通方程，联立方程组，解得l与曲线C1的交点坐标，可求|AB|；
    （II）确定点P的坐标是（
    1
    2
    cosθ，
    		3
    2
    sinθ    ），求出点P到直线l的距离，即可求得最小值；
    （3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函数的定义域；
    （Ⅱ）f（x）≥1等价于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，从而可求m的取值范围．
    解答：（1）解：（Ⅰ）依题意：
    a1
    0b
    1
    1
    =2
    1
    1
    ，∴
    a+1=2
    b=2
    ∴a=1，b=2．…（3分）
    （Ⅱ）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
    ∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，…（4分）
    设
    e2
    =
    x
    y
    是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则
    11
    02
    x
    y
    =
    x
    y

    ∴
    x+y=x
    2y=y
    ，取x=1，得
    e2
    =
    1
    0
    ，…（5分）
    ∴
    a
    =
    e1
    +
    e2
    ，∴M10
    a
    =λ110
    e1
    +λ210
    e2
    =210
    1
    1
    +110
    1
    0
    =
    1025
    1024
    ．…（7分）
    （2）解：（I）l的普通方程为y=
    		3
    （x-1），曲线C1的普通方程为x2+y2=1
    联立方程组
    y=
    		3
    (x-1)
    x2+y2=1
    ，解得l与曲线C1的交点为A（1，0），B（
    1
    2
    ，-
    		3
    2
    ），则|AB|=1．…（3分）
    （II）C2的参数方程为
    x=
    1
    2
    cosθ
    y=
    		3
    2
    sinθ
    （θ为参数），故点P的坐标是（
    1
    2
    cosθ，
    		3
    2
    sinθ），
    从而点P到直线l的距离是d=
    |
    		3
    2
    cosθ-
    		3
    2
    sinθ-
    		3
    |
    2
    =
    		3
    4
    [
    		2
    sin(θ-
    π
    4
    )+2]    ，
    由此当sin(θ-
    π
    4
    )=-1    时，d取得最小值，且最小值为
    		6
    4
    (
    		2
    -1)    ．…（7分）
    （3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=
    -2x+1，x≤-1
    3，-1＜x＜2
    2x-1，x≥2

    解得x＞3或x＜-2，∴函数的定义域为{x|x＞3或x＜-2}…（3分）
    （Ⅱ）f（x）≥1，∴log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log22，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
    由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
    而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）
    点评：本题是选作题，考查知识全面，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （A）4-2矩阵与变换
    已知二阶矩阵M的特征值是λ1=1，λ2=2，属于λ1的一个特征向量是e1=
    1
    1
    ，属于λ2的一个特征向量是e2=
    -1
    2
    ，点A对应的列向量是a=
    1
    4
    ．
    （Ⅰ）设a=me1+ne2，求实数m，n的值．
    （Ⅱ）求点A在M5作用下的点的坐标．

    （B）4-2极坐标与参数方程
    已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-
    π
    3
    )=3    ，曲线C的参数方程为
    x=cosθ
    y=3sinθ
    ，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
    e1
    =
    1
    1
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    过点M（3，4），倾斜角为
    π
    6
    的直线l与圆C：
    x=2+5cosθ
    y=1+5sinθ
    （θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|•|MB|的值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）（矩阵与变换）已知二阶矩阵M=
    0-1
    23
    ．
    （Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
    （Ⅱ）设向量
    α
    =
    -1
    3
    ，求M100
    α
    ．
    （2）（坐标系与参数方程）
    已知曲线C1的参数方程为
    x=1+2cosθ
    y=-1+2sinθ
    （θ是参数），曲线C2的极坐标方程为θ=
    π
    4
    （ρ∈R）．
    （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的平面直角坐标方程；
    （Ⅱ）设曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求弦长|AB|．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先在答题卡上把所选题目对应的题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵M=
    a1
    3d
    有特征值λ=-1及对应的一个特征向量e1=
    1
    -3
    ．
    （Ⅰ）求距阵M；
    （Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1，求曲线C的方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
    x=2+t
    y=t+1
    (t    为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为p2-4pcosθ+3=0．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
    （Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
    （Ⅰ）求实数t的取值范围；
    （Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a、b、c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．

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