Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先在答题卡上把所选题目对应的题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M=

a 1 3 d

有特征值λ=-1及对应的一个特征向量e1=

1 -3

．
（Ⅰ）求距阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2+t y=t+1

(t为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为p²-4pcosθ+3=0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
（Ⅰ）求实数t的取值范围；
（Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a、b、c满足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）：（I）根据矩阵的特征值与特征向量的定义建立等式关系，解之即可求出a和d的值，从而求出矩阵M；
（II）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），然后建立等式关系，将A'（x'，y'）代入方程为x²+2y²=1进行求解即可．

（2）（Ⅰ）曲线C的参数方程为

x=2+t y=t+1

(t为参数），消去参数t即得普通方程，再根据极坐标和直角坐标方程的互化公式求得曲线C在极坐标系中的方程．
（Ⅱ）由（I）把直线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把曲线P的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，求出弦长．

（3）（I）首先已知不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，则可以求出f（x）的最小值，使得t≤f（x）_min即可．
（II）由（Ⅰ）知，T=3，即a²+b²+c²=3．由柯西不等式知：（a+2b+c）²≤（a²+b²+c²）（1²+2²+1²），即可求出a+2b+c的最大值．

解答：解：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
（Ⅰ）依题意得：

a 1 3 d

1 -3

=(-1)

1 -3

，即

a-3=-1 3-3d=3

，…（2分）
解得

a=2 d=0

，所以M=

2 1 3 0

．…（3分）
（Ⅱ）设曲线C上一点P（x，y）在矩阵M的作用下得到曲线x²+2y²=1上一点P'（x'，y'），
则

x′ y′

=

2 1 3 0

x y

，即

x′=2x+y y′=3x

，…（5分）
又因为（x'）²+2（y'）²=1，所以（2x+y）²+2（3x）²=1，
整理得曲线C的方程为22x²+4xy+y²=1．…（7分）

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）曲线C的普通方程为x-y-1=0，曲线P的直角坐标方程为x²+y²-4x+3=0．…（3分）
（Ⅱ）曲线P可化为（x-2）²+y²=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，
则圆心到直线C的距离为d=

|1|

2

=

2

2

，所以|AB|=2

r2-d2

=

2

．…（7分）

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，则t≤f（x）_min，
又因为f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，所以函数f（x）的最小值为3，
所以t的取值范围为（-∞，3]．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T=3，即a²+b²+c²=3．
由柯西不等式知：（a+2b+c）²≤（a²+b²+c²）（1²+2²+1²），则（a+2b+c）²≤18．
所以a+2b+c的最大值为2

3

，…（6分）
当且仅当a=

2

2

，b=

2

，c=

2

2

时等号成立．…（7分）

点评：（1）本小题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．
（2）本小题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想，属于基础题．
（3）此小题主要考查恒成立的问题、柯西不等式，属于基础题型．