Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量

e1

=

1 1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为

π

6

的直线l与圆C：

x=2+5cosθ y=1+5sinθ

（θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|•|MB|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设矩阵 A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁及矩阵M对应的变换将（-1，2）变换成（3，0），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）先将曲线的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于t的二次方程，最后结合参数t的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积．
（3）首先分析题目已知a²+b²+c²+d²+e²=16，可以考虑到柯西不等式的应用，建立关于e 的不等关系后，再根据不等式的解法即可．

解答：解：（1）设矩阵 A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，
则 A=

ab cd

1 1

=3

1 1

，故

a+b=3 c+d=3

ab cd

-1 2

=

3 0

，故

-a+2b=3 -c+2d=0

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=

12 21

．
（2）由已知得直线l的参数方程为

x=3+tcos π 6 y=4+tsin π 6

（t为参数），
即

x=3+ 3 2 t y=4+ 1 3 t

（t为参数）．（3分）
曲线的普通方程为（x-2）²+（y-1）²=25．（6分）
把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得
t²+（

3

+3）t-15=0，
∴t₁t₂=15，（8分）
∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）
（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²）
所以得：4（16-e）²≥（8-e）²．
解得：0≤e≤

16

5

不姐仅当a=b=c=d=

6

5

时，e取最大值

16

5

．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算、考查圆的参数方程、参数方程的概念、一元二次方程等基础知识，、不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对两种不等式非常熟练，属于中档题目．