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已知函数f(x)=alnx+2x+3(a∈R)
(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
(Ⅱ)若a=1,设g(x)=f(x)+kx,且不等式g′(x)≥0在X∈(0,2)上恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)在(I)的条件下,将函数f(x)的图象关于y轴对称得到函数φ(x)的图象,再将函数φ(x)的图象向右平移3个单位向下平移4个单位得到函数w(x)的图象,试确定函数w(x)的单调性并根据单调性证明ln[2.3.4…(n+1))]2≤n(n+1)(n∈N,n>l).
分析:(I)若函数f(x)在x=2处取得极值,则当x=2,f′(x)=0,由此可以构造一个关于a的方程,解方程即可求出满足条件的实数a的值;
(Ⅱ)若a=1,根据g(x)=f(x)+kx,我们可以求出函数g(x)的解析式,又由不等式g′(x)≥0在X∈(0,2)上恒成立,我们可以将问题转化为一个函数恒成立问题,进而求出实数k的取值范围;
(Ⅲ)根据(I)中a值,我们求出函数f(x)的解析式,进而根据将函数f(x)的图象关于y轴对称得到函数φ(x)的图象,再将函数φ(x)的图象向右平移3个单位向下平移4个单位得到函数w(x)的图象,求出函数w(x)的解析式,进而利用导数法证明出函数w(x)的单调性后,即可得到ln[2.3.4…(n+1))]2≤n(n+1).
解答:解:(I)∵函数的定义域为(0,+∞),由f(x)=alnx+2x+3(a∈R)
∴f′(x)=
a
x
+2

又∵函数f(x)在x=2处取得极值,
∴f′(2)=
a
2
+2
=0
解得a=-4
(II)g(x)=f(x)+kx=lnx+2x+3+kx=lnx+(k+2)x+3
∴g′(x)=
1
x
+k+2
≥0在X∈(0,2)上恒成立,
即k≥-2-
1
x

又0<x<2,
∴-2-
1
x
<-
5
2

∴k≥-
5
2

即满足条件的实数k的取值范围为[-
5
2
,+∞)
(III)∵f(x)=-4lnx+2x+3
∴φ(x)=-4ln(-x)-2x+3
∴w(x)=-4ln(3-x)-2x+5
则w′(x)=
4
x
-2

∵当x∈(0,
1
2
)时,w′(x)>0,当x∈(
1
2
,+∞)时,w′(x)<0,
∴w(x)=-4ln(3-x)-2x+5在区间(0,
1
2
)上单调递增,在区间(
1
2
,+∞)上单调递减
∴n∈N,n>l时,-4ln(3-n)-2n+5≤w(2)=1
∴ln(n+1)≤n
即ln2≤1,ln3≤2,…,ln(n+1)≤n
∴ln2+ln3+…+ln(n+1)≤1+2+…+n
∴ln[2.3.4…(n+1)]≤
n(n+1)
2

∴2ln[2.3.4…(n+1)]≤n(n+1)
即ln[2.3.4…(n+1))]2≤n(n+1)(n∈N,n>l).
点评:本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,函数的图象与图象变化,函数的单调性与导数的关系,其中(I)的切入点是f′(2)=0,(2)的线入点是g′(x)≥0在X∈(0,2)上恒成立,(3)的切入点是函数w(x)的单调性并根据单调性.
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a-x2
x
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1
2
 , 2])

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1
4
)
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